本不適合。如果不是古典文化太侷限於微小而切近的事物，則精妙的阿提卡精神，幾乎可以確定，必能解決非歐幾何的某些難題，因為它曾對著名的“平行”公理提出過批評，雖然它的懷疑很快引起了反對的意見，但並未獲得合理的闡明。這一批評實際上十分接近於非歐幾何的決定性的發現。古典心靈不加懷疑地投身於或者說把自己侷限於小的和切近的東西的研究，就如同我們的心靈不加懷疑地投身於或侷限於無限的和超視覺的事物的研究一樣。西方人憑自己發現的或從別人那裡借來的所有數學觀念，都自動地從屬於微分的形式語言，並且早在真正的微積分發明之前就已經這麼做了。阿拉伯的代數、印度的三角、古典的力學，事實上全在數學分析中被合併為一個東西了。甚至連初等算術中最“自明的”算式，如2×2=4，一當以數學分析來考慮，也變得有問題了，而對這些問題的解決只有透過集合理論的演繹才是可能的，可即便如此，還是有許多難點未能解決。柏拉圖和他的時代也許會把這種東西不僅看作是錯覺，而且看作是一個全然非數學的心靈的證據。在某些情形下，幾何可以用代數的方式來處理，而代數也可以用幾何的方式來處理，這就是說，我們的眼睛可以閉上，也可以讓我們的眼睛來統領一切。我們採取的是前一種態度，而希臘人採取的是第二種態度。阿基米德在對螺線作的美妙的處理中，已經觸及到了某些一般的事實，這些事實在萊布尼茨的定積分方法中也是基礎性的；但是，阿基米德的研究，即便與近代的研究有著一切表面的相似，也仍是從屬於測體術的原則的；同樣的情形，印度的數學家自然也可以發現某些三角公式。
十三
從古典數字與西方數字的這一根本對立中，產生出了一個同樣根本的區別，那就是要素間的關係在這兩個數字世界中的區別。在古典數學中，數量之間的聯絡被稱作比例；在西方數學中，關係之間的聯絡全包含在函式的觀點中。“比例”和“函式”這兩個詞的意義不只侷限於數學；它們在雕塑和音樂這兩個相關的藝術領域也極為重要。除了在單體雕像各部分的安排中，比例佔有很重要的地位之外，雕像、浮雕、壁畫等典型的古典藝術形式，都有尺度的擴大與縮小——而在音樂中，這些詞便毫無意義——正如我們在鑽石藝術中所看到的，在那裡，主題本質上是原石料按比例的縮小。相反，在函式的領域，具有決定性的重要意義的，乃是群的轉換�ansformation of groups），而音樂家也樂於承認，同樣的觀念在現代作曲理論中也具有本質的地位。我只需提及18世紀最美妙的一種管絃樂形式——變奏曲，便足可證明這一點。
所有的比例，都是基於各要素的不變性，而所有的轉換，都是基於各要素的可變性。例如，比較一下對稱定理的不同證明：歐幾里得對它的證明事實上有賴於一個事先假定的1：1的比率，而近代數學是透過角函式來演繹出相同的定理。
十四
古典數學整個地是一種構成（construction）（廣義上說，它包括初等算術），也就說，是某個單一的、在視覺上在場的圖形的生產。在這一可稱作第二雕刻的藝術中，圓規就是它的鑿子。而另一方面，在函式研究中，物件不是以體量大小表現出來的結果，而是對一般的形式可能性的討論，其工作方式可最好地描述為是一種與音樂十分類似的作曲程式；並且事實上，有許許多多的觀念與音樂理論（例如音調、樂句、音階等）是交匯的，這些觀念皆可直接運用於物理學，至少可以證明，有許多關係透過這種運用可以得到說明。
每一個構成，都是一種斷言，每一次運算，都是對錶象的一種否定，因為前者所獲得的結果，在視覺上是給定的，後者所獲得的結果，則是對錶象的解決。也是因此，我們還會遇到這兩種數學之間的另一個差別；研究小的事物的古典數學，處理的是具體的個例，產生的是一個一勞永逸的構成，而研究無窮的數學，處理的是全部種類的形式可能性，是函式、運算、方程式、曲線的群，並且所著眼的不是這些東西最終達致的任何結果，而是它們的程序。就這樣，在最近的兩個世紀裡——儘管現今的數學家幾乎沒有意識到這一事實——逐漸地產生了數學運算的一般形態學的觀念，我們在總體地論及近代數學的實際意義時，便可以證明這一點。所有這一切，正如我們將越來越明確地感覺到的，都是西方才智所固有的一般傾向的一種體現，這種傾向是浮士德精神和浮士德文化所固有的，在其他的精神和文化中是看不到的。我們的數學有為數眾多的難題，這些難題常常