丟番圖（顯然，他並非起點）大膽而合乎邏輯的改造，至阿拔斯時期（Abbassid period）（公元9世紀）達致巔峰，我們在花拉子密（Al…Khwarizmi）和阿爾西德施（Alsidzshi）那裡可以欣賞到這種數學。並且，如同歐幾里得幾何學之於阿提卡雕塑，以及空間分析之於復調音樂一樣（它們皆是同一表現形式的不同表達媒介而已），這種代數學之於麻葛式的藝術及其馬賽克、阿拉伯風格的圖案（薩珊帝國和後來的拜佔廷皆以一種越來越鋪張奢華的、有形或無形的有機主題生產著這種風格）和它的君士坦丁式的高浮雕（在那裡，不確定的深度陰影區隔著前景中處理自如的形象），亦是同一表現形式的不同媒介而已。如同代數學之於古典算術和西方人的數學分析一樣，圓頂教堂之於多立克式的廟宇和哥特式的教堂，則屬於相同的媒介的不同表現形式。這不是說丟番圖就是一個偉大的數學家。相反，我們已經習慣於將他的名字和許多東西聯絡在一起，而實際上那並非他一個人的成就。他的出乎意外的重要性在於這樣一個事實，即就我們的知識所及而言，他是第一個明確無誤地表現出那種新的數字感的數學家。相比較於那些總結數學發展的大師，如阿波羅尼烏斯和阿基米德，又如高斯、柯西（Cauchy）和黎曼，丟番圖的工作，尤其是在形式語言方面，還是相當原始的。這些原始的工作，直到今天，我們還常常用它來指稱“晚期古典”數學的衰微，現在，我們則應當學會理解和評價它，一如我們正在修正我們的蔑視“晚期古典”藝術的觀念並開始在那裡認識新生的早期阿拉伯文化初試啼音一樣。類似地，利雪（Lisieux）的大主教尼古拉斯·奧里斯梅（1323～1382年）的數學也是古代的、原始的和處在摸索之中的：他是第一個靈活地運用座標系來進行數學表述——尤其重要的是——並用它來描述等加速運動的西方人，這兩種工作都以一種數字感為前提，這種數字感可能還模糊不清，但卻是明確無誤的，它完全是非古典的，也是非阿拉伯的。但是，如果我們進一步地把丟番圖和羅馬藏品中的早期基督教石棺、把奧里斯梅和德國教堂中的哥特式雕塑放在一起思考，就能看到數學家和藝術家在某些方面是共同的，那就是，他們都處在各自文化的抽象理解的相同（亦即原始）水平。在丟番圖所處的世界和時代裡，測體術的邊界感——很久之前在阿基米德那裡就已經達到了與大都市的才智相匹配的最完善精細的階段——已經消失。在那整個世界裡，人們都是不清醒的，是飢渴的和神秘主義的，不再像阿提卡人那樣灑脫自如；他們是植根於年輕的鄉村土地的一群人，不像歐幾里得和達朗貝爾是植根於大都市的都市人。他們不再理解古典思想那深刻而複雜的形式，而他們自己的思想又是混亂的和新生的，和城市一樣遠未達到明晰和整潔的程度。他們的文化還處在哥特式的狀態，一如所有文化在年輕的時候一樣，甚至如同古典文化在多立克早期階段——我們現今對它的瞭解只能透過它的狄甫隆陶瓶——的情況一樣。只有到公元9至10世紀的巴格達，丟番圖時代的年輕觀念才經由具有柏拉圖和高斯這種能力的成熟的大師而得以徹底完成。
八
笛卡兒的幾何學出現於1637年，他的決定性的行為，不在於在傳統的幾何學領域引入了一種新的方法或觀念（正如我們時常這麼認為的），而在於他為一種新的數字觀念引入了一個明確的概念，透過這一概念，使幾何學擺脫了視覺上可認知的結構和一般的被度量或可度量的線條的束縛。由於笛卡兒的幾何學，對無窮的分析變成了事實。嚴謹的、所謂笛卡兒式的座標體系——一種半歐幾里得式的、可理想地表達可度量的量的方法——其實早就為人所知（奧里斯梅就是見證），並一直被認為具有極度的重要性，而當我們對笛卡兒的思想窮根究底一番之後，便能發現，他所做的並不是完善了而是克服了那一體系。其最後的歷史代表就是笛卡兒同時代的費馬。
取代具體的線和麵的感覺要素——這是古典界限感的一個典型特徵——代之以點的抽象的、空間的、非古典的要素，從此以後，“點”被視為是一組排列在一起的純粹數字。源自古典文字和阿拉伯傳統的量的觀念和可感知的向度觀念被摧毀殆盡，代之而起的是空間位置中可變的關係值。一般來說，我們不認為這是幾何學的替代品，彷彿從此之後，幾何學只能是躲在古典傳統身後的一個虛構的存在。“幾何學”這個詞有著一種不能隨便擴充套件的阿波羅式的意義，而自笛卡兒時代開始，所謂“新幾何學”，則是由綜合和分析兩部分構成的，其中