運動所衝擊，還要莫名其妙地受到許多批判。但劉應明不管別人怎麼折騰，自己一如既往地進行數學研究。他說：“我才不管他們怎麼批我，給我貼多少大字報呢！我只看我的數學書，思考數學問題，教好我的學生。”
正是這種超然心態，使劉應明進入了物我兩忘的境界。即使在“文革”的逆境中，他也常常躲到空的閣樓裡面看他心愛的專業書。在學習與研究中，他慣用“逆向思維”。對概念、結論等常從正反角度加以推敲，特別講究深透。劉應明根據世界著名數學家、費爾茨獎得主米洛爾的研究成果，進一步深入鑽研，終於解決了拓撲學中有名的懷特海德（Ｗｈｉｔｅｈｅａｄ）難題。可是這一輝煌成果，卻由於當時的政治環境阻礙了其發表，竟沉睡了近１５年！直到１９８０年才得以問世。儘管如此，這一研究仍受到國際同行們的關注。
劉應明專長於模糊數學與拓撲學。通俗地說，模糊數學就是在問題已知條件不充分、不精確、不完備的情況下，透過數學處理，得出有價值的結論的數學；拓撲學就是研究一種變化趨向、連續性的數學。的確，對於一般人難以接受這樣的解釋。
１９７５年的那個雨雪交加的一天，趁寒假劉應明提著簡單的行囊，艱難地走在泥濘的山路上，來到雅安縣草壩鄉探親。草壩鄉村中學坐落在一個田埂環繞的山丘上，這裡距離成都３００餘里。劉應明的妻子吳玉群就在這個由已歷百年的法國教堂改建的鄉村學校任教。
他們夫妻結婚幾年，卻是聚少離多，唯一團聚的日子就是學校的寒暑假。說是探親，他卻帶著滿腦子未解的“題”，帶著無法停頓的思索來的。一年前，他與川大數學系的老師自行組織了研討班，研討剛剛開始出現的不分明拓撲學。可惜不到一年，一場“政、教不分明”的風波，使這個研討班不得不宣告解散。研討班雖然停止了，可研討中的問題卻日夜纏繞在劉應明的腦中，他要繼續研究，只有躲開沒完沒了的大會小會。於是，就有了這一次的“探親”。善解人意的妻子為了讓他避開干擾，特地從學校借來一間平房，讓他潛心研究。
日復一日過去了，又一個傍晚來臨，他依然走到學校附近的田埂散步，一邊走，一邊不停地思索。天卻突然陰沉起來，細雨也紛紛落了下來。不一會兒，他身上全都被雨打得溼漉漉的，而他卻全然不知，思想的鏈條緊繃著。走著，走著，眼前驀然一亮，思索了多日的問題，終於有了線索。他急忙回到房間計算起來。接下來荒郊索居的“探親”日子裡，他夜以繼日，終於完成了一篇２萬餘字的論文《不分明拓撲學———不分明點的鄰近構造與Ｍｏｏｒｅ－Ｓｍｉｔｈ收斂》。
這篇共１４章、長達２萬餘字的數學論文在提交中國科學院數學所審查時，得到很高的評價，並在兩年後的１９７７年《四川大學學報》復刊上得以刊出。隨著英文版在美國發表，被國內外同行廣泛引用。就是這篇論文提出了一種嶄新的鄰近構造，首創一種與傳統概念不同的重域系，被國內外同行普遍認為奠定了不分明拓撲學（即模糊拓撲學）有點化流派基礎。有關成果還引起人工智慧、多值邏輯專家的高度重視、運用。
隨著深入的分析研究，他又綜取有點化與無點化兩家之長，在嵌入理論、度量化理論、緊化理論等方面取得了一系列突破，並寫出了一系列論文。他還在不分明拓撲學中相關的代數與序結構研究中取得高水平成果，成為同行中“代數化流派”的代表人物，被稱為“開闢了嶄新的研究方向”，“賦予不分明拓撲以新的生命”。牛津大學數學系主任吉姆斯主編的英國倫敦數學會藍皮書評價為：“重域系的建立，極富創見性，是目前為止最成功的成果”。前蘇聯《數學進展》認為劉的有點化流派“克服了傳統的嚴重障礙”。美國權威性評論雜誌《數學評論》對此多次評論，認為“解決了重要問題”。這標誌著劉應明研究的高峰期的到來，而且奠定了他在數學界的學術地位。
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劉應明：“中國的查德”（5）
愛國同胞和國際友人真摯熱烈的祝賀使他真正領會
到了一個人如何才能對國家有所貢獻
“文革”結束後，科學的春天到來了。劉應明也同千千萬萬科技工作者一樣，沐浴在和煦的春風裡。一篇接一篇論文開始在國內外重要的學術刊物上登載，一項又一項引人矚目的科研成果紛紛被他採擷。真可謂厚積十餘載，薄發於一朝。
採訪時，記者問哪一件事對他影響最大。劉應明這樣作答：“鄧小平同志復出、改革開放，對我