實際的特徵。在此，只有理解了此等數字思想的領域，那種現實性才不僅僅是感覺的現實性。精神為實現自己的觀念，決不會把自己侷限於感覺形式。
十八
從物件徵性的空間世界的這種偉大的直觀出發，便產生了西方數學最終的結論性的創造——在群論中把函式論加以擴充套件和精練。“群”，即是同源的數學意象的集合，例如，某一型別的所有微分方程之總體，便是一“群”。“群”在結構和秩序上類似於戴德金的“數體”（number…bodies）。在此，我們所感受到的，是全新的數的世界，對於行家的內在視覺而言，這世界並非全然地在感覺上是超越的；現在的問題在於，必須在這些龐大的抽象形式系統中，找出一些元素，相對於一種特殊的運算（如系統的轉換）時，它們卻能不受影響，就是說，可以保持不變。用數學的語言來說，這個問題，正如克萊因（Klein）所一般地闡述的：給定一n維的簇面（“空間”）及一組轉換，需要考察的，乃是屬於該簇面的諸形式不會因為“群”的轉換而改變其既有的諸特性。
到了這一頂峰之後，我們的西方數學，作為浮士德心靈的觀念的投影和最純粹的表現，已耗盡了其每一種內在的可能性，完成了它的命運，就這樣，它終止了自身的發展，一如古典文化的數學在公元前3世紀終結了一樣。這兩種科學（甚至在今天，能歷史地考察其有機結構的，也只有這兩種數學了），皆產生於一種全新的數的觀念，在古典的情形中，是畢達哥拉斯的數的觀念，在西方的情形中，是笛卡兒的數的觀念。兩者皆在百餘年之後展盡了其所有的風采，達致其成熟的境界；兩者皆在繁榮了三個世紀之後，皆於各自的文化步入大都市文明的時刻，完成了其觀念的結構。這種相互依賴的深刻意義，馬上就會給以說明。而此刻，對我們而言，明白偉大的數學家的時代已成過去，就已經夠了。我們現今的工作，就是儲存、潤飾、修正、選擇——而不再是偉大的動力性創造，這與晚期希臘化時代的亞歷山大里亞數學所表現的巧妙的細節修補的特徵是一樣的。
下面的歷史圖表可以更清楚地說明兩者之間的關係：
古典數學 西方數學
1。新的數字概念
約公元前540年，約公元1630年
數作為數量數作為關係
（畢達哥拉斯學派）（笛卡兒、帕斯卡爾、費馬）
（牛頓、萊布尼茨，1670年）
（約公元前470年，雕刻勝過壁畫） （約公元1670年，音樂勝過油畫）
2。系統發展的頂峰
公元前450～前350年 公元1750～1800年
柏拉圖、阿基塔斯、歐多克斯尤拉、拉格朗日、拉普拉斯
［菲狄亞斯、普拉克西特列斯（格魯克、海頓、莫扎特）
（Praxiteles）］
3。圖形世界的內在完成與總結
公元前300～250年 公元1800年之後
歐幾里得、阿波羅尼烏斯、阿基米德高斯、柯西、黎曼
［呂西波斯（Lysippus）、（貝多芬）
萊奧卡雷斯（Leochares）］
第三章 世界歷史的問題（1）
（A）觀相的與系統的
一
現在，我們終於可以邁出決定性的一步，去描畫出一個歷史的意象了，這一意象獨立於這樣或那樣的觀察者所寄身的角度和歷史時期的偶然性，亦獨立於觀察者本人的人格——他作為自身文化的一個帶有偏私的成員，因其文化中宗教的、理智的、政治的和社會的傾向，而總是想依據某一受到時間和空間侷限的視角去整理歷史的材料，總是想形成一些武斷任意的形式，並將歷史的外表強行納入其中，而實際上，這些武斷任意的形式與歷史的內在內容全然不合。
直到現在，我們一直缺失的，正是與所思考的物件保持超然（detachment）的態度。就自然的方面而言，這種超然很久以前就已經達到了，當然，對於自然，相對比較容易達到這種態度，因為物理學家顯然能夠做到不帶個人色彩地將他的世界的機械因果圖象系統化，就彷彿他本人根本不存在於這個世界中一樣。
然而，對歷史的形式世界完全有可能做同樣的事。我們只是還沒有意識到其可能性而已。現代歷史學家總為自己能保持“客觀性”而自豪，可恰恰是在他們的這一引以為