求積的方法，但這些方法與萊布尼茨的定積分方法甚至只有表面的相似。他們也運用幾何軌跡和座標系，但這些通常都是度量的一些被明確的長度和單位，而不是——如同在費馬（Fermat）、尤其是在笛卡兒那裡——未被明確的空間關係，不是依據點在空間中的位置而定的點的價值。在所有這些方法中，還要特別地提一下阿基米德的窮竭法（exhaustion method），在最近發現的阿基米德致厄拉多塞尼（Eratosthenes）的信中，他論及了用內接矩形（而不是相似的多邊形）求拋物面的截面積的方法。但是，這一極端精密複雜的方法，仍是基於柏拉圖的某些幾何學觀念，雖然表面上與帕斯卡爾的方法有可類比之處，但兩者之間還是有極大的不同。其與黎曼的積分觀念也截然相異。那麼，阿基米德的這些觀念與今日所謂的求面積法有著何樣的尖銳對立？阿基米德的方法本身，如今不過是一種不幸的殘餘，它所謂的“表面”（surface），如今已被代之以“封閉函式”（bounding function），而它所用的描畫法（drawing），如今也已經消失。古典和西方的數學心靈彼此間從未像在此例中如此的接近過，也從未像在此例中如此明顯地顯示出這兩種心靈之間的隔閡之深，根本不可能彼此溝通。
在其早期建築的立體風格中，埃及人可以說隱藏了純粹的數字，他們害怕突然觸及到數字的秘密，而對於希臘人而言，數字也是既成之物、僵硬之物、有限之物的意義的關鍵。石像和科學體系否定了生命。數學的數字，現象性的生存——它只是醒覺的人類意識的派生物和僕人——所依存的廣延世界的形式原則，帶有因果必然性的標記，因此與死亡是聯絡在一起的，如同編年學的數字是與生成、生命、命運的必然性聯絡在一起的一樣。嚴密的數學形式與有機存在的終結、與有機存在的有機剩餘物即肉體的現象之間的這種聯絡，我們將越來越明確地看作是所有偉大藝術的源頭。我們已經注意了喪葬器物和棺木的早期裝飾的發展。數字是死亡的象徵。刻板的形式是生命的否定，公式和定律把死板板的謹嚴性散播在自然的面孔上，數字製造了死亡——在《浮士德》第二部中，“女神們”端坐在寶座上，莊嚴而又隱忍，她們唱道：
奇幻難形筆楮，
煥然竟成文章；
永恆女性自如常，
接引我們向上。
在對終極的奧秘作如此的神聖化時，歌德與柏拉圖非常相近。因為他的不可接近的女神們就是柏拉圖的理念——是一種精神的可能性，是有待實現的孕育中的形式，它們作為能動的和有目標的文化，作為藝術、思想、政治與宗教，存在於由那一精神所規範和決定的世界中。所以，一種文化的數字思想和世界觀乃是關聯在一起的，由此關聯，前者被提升到單純的知識和經驗之上，成為一種宇宙觀。因此，世上有多少種高階文化，便有多少種數學，便有多少種數字世界。只有這樣，我們才能理解一個必然的事實，即那些最偉大的數學思想家、那些數字領域中最偉大的創造性的藝術家，每每要經由一種深沉的宗教直覺，才能獲得他們的諸文化中最為關鍵的數學發現。
我們必須把古典的、阿波羅式的數字看作是畢達哥拉斯的創造物——是他創立了一種宗教。那位偉大的佈列克森主教（約1450年），尼古拉·庫薩，也是經由一種直覺的引導，才從自然中上帝的無限性的觀念得出了微積分的原理。萊布尼茨在兩個世紀之後明確地奠定了微積分的方法和記號法，而他自己也是經由對神聖的原則及其與無窮的關係作純粹形而上的沉思的引導，才體會和發展出位置分析（analysis situs）的概念——這可能是對純粹的、獲得解放的空間的所有闡釋中最具啟示性的——後來，格拉斯曼（Grassmann）在他的《擴張論》（Ausdehnungslebre）中對位置分析的可能性作了進一步的發展，尤其黎曼用雙面的平面來描述方程的性質的象徵主義，使得他成為了那種種可能性的真正創造者。還有開普勒（Kepler）和牛頓，他們也都具有嚴格的宗教氣質，且和柏拉圖一樣，都曾經或一直深信，只有經由數字作為媒介，他們才能直覺地領會到神聖的世界秩序的本質。
七
我們常常被告知，古典算術經過丟番圖才第一次擺脫其感覺束縛，在廣度和深度上有所深入。可實際上，丟番圖並沒有創造代數學（未知量的科學），而只是把代數學帶入了我們所知的古典數學框架的表達。而且他的成就是如此之突然