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現在來考查一下負曲率空間的情況。為簡單起見，限於二維，典型的例子是雙曲面，形如馬鞍。如果也沿著這個面上的一條直線運動，一般說來不會再返回出發點，而是無限地遠離。像平面一樣，雙曲面也是開放面，但僅此而已。作為一個曲面，雙曲面根本不再是歐幾里德型的。
大多數曲面並不像球面或雙曲面那樣具有處處都為正或為負的曲率，而是曲率值逐點變化，正負號在面上不同區域也會改變。
幾何與物質
物質所在，幾何所在（Ubi materia，ibi geometria）。
——約翰斯·開普勒（JOhaunes Kopler）
我們現在來考慮廣義相對論的四維幾何。重要的是，時空是彎曲的，而不僅是空間。黎曼曾試圖以彎曲空間來使電磁學和引力相和諧，他之所以未成功，是因為沒有扭住時間的“脖子”。
設想我們把石塊擲向地面上10米外的靶子。在地球引力作用下石塊將沿連線出手處和靶子的拋物線飛行，其最大高度取決於初始速度。如果石塊以10米／秒的速度擲出，並將用1．5秒鐘落到目標，則其最大高度為3米。如果改成用槍射擊，且子彈初速為500米／秒，則子彈將沿高為0．5毫米的弧線用0．02秒鐘擊中目標；如果子彈被射到12公里高的空中再落到靶子上（忽略空氣的影響和地球自轉），它的總飛行時間就大約是100秒。由此推至極限，也可以用速度為3
0公里／秒的光線來射靶子，這時的軌道彎曲變得難以覺察，幾乎成了一條直線。顯然，所有這些拋物線的曲率半徑各不相同。
現在加進時間維度（圖14b）。無論對石塊、於彈還是光子，在時空中量度的曲率半徑都精確地相等，其值為1光年的星級。因此，更合理的說法是，時空軌道是“直”的，而時空本身被地心引力所彎曲，不受任何其他力的拋射體將沿測地線運動（等價於說沿彎曲幾何中的直線運動）。
上面的例子表明時空是怎樣在時間上彎曲得比在空間上厲害得多的。一旦所涉及的速度開始增大，時間曲率就變得重要。公路上凸起了一小塊，只是空間曲率的一點小小不整齊，一個徒步慢行的人很難覺察到，但對一輛以120公里／小時的速度行駛的汽車來說卻很危險，因為它造成時間維度上大得多的變化。
阿瑟·愛丁頓（Arthur Eddington）計算出，l噸的質量放在一個半徑為5米的圓中心所造成的空間曲率改變，僅僅影響圓周與直徑比值（即歐幾里德幾何中的…的小數點後第24位。
因此，要給時空造成可觀的變化，就得有巨大的質量。地球表面的時空曲率半徑如此之大（約1光年，即其自身半徑的10億倍）的事實說明地球的引力場，儘管給物體以98米／秒’的加速度，卻是不夠強的。對於地球附近的絕大多數物理實驗，我們可以繼續採用明可夫斯基時空和狹義相對論；歐幾里德空間和牛頓力學在涉及的速度較小時也足夠精確。
儘管局域地看來似乎平直，我們的宇宙實際上是被物質弄彎曲了。然而，彎曲效應變得明顯僅僅是在高度集中的質量附近（例如黑洞），或者是在很大的尺度上（數百萬光年，例如研究物件是由數千個星系組成的團）。最近發現的多重類星體是彎曲時空真實性的一個最好證據。一個遙遠光源發出的光線沿不同路徑穿過彎曲時空，使天文學家看到同一個天體的幾個像
柔軟的光
光……更多的光！
——歌德（Goethe）最後的話（1832）
狹義相對論時空的剛性結構也像牛頓空間一樣被引力的衝擊完全破壞了。時空連續體變得柔軟了，被它所包含的物質扭曲了，而物質又按照它的彎曲而運動。
不過，光線的軌跡仍然是沿著最短路徑。這個時空“軟體”的結構仍然是由光編織的，廣義相對論的本質也仍能由光錐來表示出來。
另一種使彎曲時空及其對物質的影響形象化的有用辦法是用一塊橡皮片。設想將時空的一部分縮減成二維，且由彈性材料構成。在沒有任何別的物體時，橡皮保持平直。如果把一個球放在它